A Progressão Aritmética (P.A.) consiste em uma sequência numérica onde a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão da P.A..
Sendo assim, a partir do segundo elemento da sequência, os números que surgem são resultantes da soma da razão com o valor do elemento anterior.
Isso é o que a diferencia da progressão geométrica (P.G.), pois nesta, os números são multiplicados pela razão, enquanto na progressão aritmética, eles são somados.
As progressões aritméticas podem apresentar um número determinado de termos (P.A. finita) ou um número infinito de termos (P.A. infinita).
Quando a P.A. é infinita utilizamos reticencias para indicar isso, por exemplo:
a sequência (4, 7, 10, 13, 16, …) é uma P.A. infinita.
a sequência (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) é uma P.A. finita.
Cada termo de uma P.A. é identificado pela posição que ocupa na sequência e para representar cada termo utilizamos uma letra (normalmente a letra a) seguida de um
número que indica sua posição na sequência.
Por exemplo, o termo a4 na P.A (2, 4, 6, 8, 10) é o número 8, pois é o número que ocupa a 4ª posição na sequência.
Classificação de uma P.A.
As progressões aritméticas são classificadas em relação ao valor da razão, no caso elas podem ser:
Constantes: quando r = 0. Por exemplo: (4, 4, 4, 4, 4…), sendo r = 0.
Crescentes: quando r > 0 Por exemplo: (2, 4, 6, 8,10…), sendo r = 2.
Decrescentes: quando r < 0 Por exemplo (15, 10, 5, 0, – 5,…), sendo r = – 5
Propriedades da P.A.
1ª propriedade:
Em uma P.A. finita, a soma de dois termos equidistantes (ou seja com a mesma distância) dos extremos é igual à soma dos extremos.
Exemplo:
2ª propriedade:
Considerando três termos consecutivos de uma P.A., o termo do meio será igual a média aritmética dos outros dois termos.
Exemplo:
3ª propriedade:
Em uma P.A. finita com número de termos ímpar, o termo central será igual a média aritmética dos extremos (primeiro termo e último termo)
Exemplo:
Fórmula do termo geral:
Como a razão de uma P.A. é constante, podemos calcular seu valor a partir de quaisquer termos consecutivos, ou seja:
Sendo assim, podemos encontrar o valor do segundo termo da P.A. fazendo:
Para encontrar o terceiro termo utilizaremos o mesmo cálculo:
Substituindo o valor de a2, que encontramos anteriormente, temos:
Se seguirmos o mesmo raciocínio, podemos encontrar:
Observando os resultados encontrados, notamos que cada termo será igual a soma do primeiro termo com a razão multiplicada pela posição anterior.
Esse cálculo é expresso através da fórmula do termo geral da P.A., que nos permite conhecer qualquer elemento de uma progressão aritmética. Assim, temos:
Onde,
an : termo que queremos calcular
a1: primeiro termo da P.A.
n: posição do termo que queremos descobrir
r: razão
Exemplo
Calcule o 10° termo da P.A.: (26, 31, 36, 41, …)
Solução
Primeiro, devemos identificar que a1 = 26, r = 31 – 26 = 5 e n = 10 (10º termo). Substituindo esses valores na fórmula do termo geral, temos:
an = a1 + (n – 1) . r
a10 = 26 + (10-1) . 5
a10 = 26 + 9 .5
a10 = 71
Portanto, o décimo termo da progressão aritmética indicada é igual a 71.
Soma dos Termos de uma P.A.:
Para encontrar a soma dos termos de uma P.A. finita, basta utilizar a fórmula:
Onde,
Sn: soma dos n primeiros termos da P.A.
a1: primeiro termo da P.A.
an: ocupa a enésima posição na sequência
n: posição do termo