Progressão Geométrica (PG) – Matemática do João Vitor

Progressão Geométrica (PG) consiste em uma sequência numérica cujo quociente (q) ou razão entre um número e outro (exceto o primeiro) é sempre igual.

Em outras palavras, o número multiplicado pela razão (q) estabelecida na sequência, corresponderá ao próximo número, por exemplo:

PG: (2,4,8,16, 32, 64, 128, 256…)

No exemplo acima, podemos constatar que na razão (q) da PG entre os números, o número que multiplicado por esta determina seu consecutivo, é o número 2:

2 . 2 = 4
4 . 2 = 8
8 . 2 = 16
16 . 2 = 32
32 . 2 = 64
64 . 2 = 128
128 . 2 = 256

Vale lembrar que a razão de uma PG é sempre constante e pode ser qualquer número racional (positivos, negativos, frações) exceto o número zero.

Classificação das Progressões Geométricas

De acordo com o valor da razão , podemos dividir as Progressões Geométricas (PG) em 4 tipos:

PG Crescente

Neste caso a razão é sempre positiva ( ou seja q > 0) e o primeiro termo positivo (a1 > 0) formada por números crescentes, por exemplo:

(1, 3, 9, 27, 81, …), onde q = 3 e a1 = 1

PG Decrescente

Na PG decrescente, a razão é sempre positiva (q > 0) e o primeiro termo negativo (a1 < 0) formada por números decrescentes.

Ou seja, os números da sequência são sempre menores do que seus antecessores, por exemplo:

(-1, -3, -9, -27, -81, …) onde q = 3 e a1 = -1

PG Oscilante

Na PG oscilante, a razão é negativa (q < 0), formada por números negativos e positivos, por exemplo:

(3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,…), onde q = -2

PG Constante

Na PG constante, a razão é sempre igual a 1 formada pelos mesmos números a, por exemplo:

(5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, …) onde q = 1

PG Estacionária

Neste tipo de PG o primeiro termo pode ser qualquer número diferente de zero e a razão igual a zero (q = 0), formada pelo primeiro termo e pelos demais termos sendo iguais a zero por exemplo:

(8, 0, 0, 0, 0, 0, 0, …) onde a1 = 8 e q = 0

Fórmula do Termo Geral

Para encontrar qualquer elemento da PG, utiliza-se a expressão:

a_n = a₁ . q^(n-1)

Onde:

a_n: número que queremos obter
a₁: o primeiro número da sequência
q^(n-1): razão elevada ao número que queremos obter, menos 1

Assim, para identificar o termo 20 de uma PG de razão q = 2 e número inicial 2, calcula-se:

PG: (2,4,8,16, 32, 64, 128,…)

a₂₀ = 2 . 2^(20-1)
a₂₀ = 2 . 2¹⁹
a₂₀ = 1048576

Soma dos Termos da PG

Para calcular a soma dos números presentes numa PG, utiliza-se a seguinte fórmula:

$S com n subscrito igual a numerador a com 1 subscrito parêntese esquerdo q à potência de n menos 1 parêntese direito sobre denominador q menos 1 fim da fração$

onde:

Sn: Soma dos números da PG
a1: primeiro termo da sequência
q : razão
n: quantidade de elementos da PG

Dessa forma, para calcular a soma dos 10 primeiros termos da seguinte PG (1,2,4,8,16, 32,…):

$S com 10 subscrito igual a numerador 1 parêntese esquerdo 2 à potência de 10 menos 1 parêntese direito sobre denominador 2 menos 1 fim da fração S com 10 subscrito igual a 1023$

Veja aqui uma curiosidade sobre PG e o jogo de xadrez.

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