Progressão Aritmética (PA)

A Progressão Aritmética (P.A.) consiste em uma sequência numérica onde a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão da P.A..

Sendo assim, a partir do segundo elemento da sequência, os números que surgem são resultantes da soma da razão com o valor do elemento anterior.

Isso é o que a diferencia da progressão geométrica (P.G.), pois nesta, os números são multiplicados pela razão, enquanto na progressão aritmética, eles são somados.

As progressões aritméticas podem apresentar um número determinado de termos (P.A. finita) ou um número infinito de termos (P.A. infinita).

Quando a P.A. é infinita utilizamos reticencias para indicar isso, por exemplo:

a sequência (4, 7, 10, 13, 16, …) é uma P.A. infinita.

a sequência (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) é uma P.A. finita.

Cada termo de uma P.A. é identificado pela posição que ocupa na sequência e para representar cada termo utilizamos uma letra (normalmente a letra a) seguida de um

número que indica sua posição na sequência.

Por exemplo, o termo a4 na P.A (2, 4, 6, 8, 10) é o número 8, pois é o número que ocupa a 4ª posição na sequência.

Classificação de uma P.A.

As progressões aritméticas são classificadas em relação ao valor da razão, no caso elas podem ser:

Constantes: quando r = 0. Por exemplo: (4, 4, 4, 4, 4…), sendo r = 0.

Crescentes: quando r > 0 Por exemplo: (2, 4, 6, 8,10…), sendo r = 2.

Decrescentes: quando r < 0 Por exemplo (15, 10, 5, 0, – 5,…), sendo r = – 5

Propriedades da P.A.

1ª propriedade:

Em uma P.A. finita, a soma de dois termos equidistantes (ou seja com a mesma distância) dos extremos é igual à soma dos extremos.

Exemplo:
2ª propriedade:

Considerando três termos consecutivos de uma P.A., o termo do meio será igual a média aritmética dos outros dois termos.

Exemplo:
3ª propriedade:

Em uma P.A. finita com número de termos ímpar, o termo central será igual a média aritmética dos extremos (primeiro termo e último termo)

Exemplo:

Fórmula do termo geral:

Como a razão de uma P.A. é constante, podemos calcular seu valor a partir de quaisquer termos consecutivos, ou seja:

r igual a a com 2 subscrito menos a com 1 subscrito igual a a com 3 subscrito menos a com 2 subscrito igual a a com 4 subscrito menos a com 3 subscrito igual a... igual a a com n subscrito menos a com n menos 1 subscrito fim do subscrito

Sendo assim, podemos encontrar o valor do segundo termo da P.A. fazendo:

a com 2 subscrito menos a com 1 subscrito igual a r espaço espaço seta dupla para a direita espaço a com 2 subscrito igual a a com 1 subscrito mais r

Para encontrar o terceiro termo utilizaremos o mesmo cálculo:

a com 3 subscrito menos a com 2 subscrito igual a r espaço espaço seta dupla para a direita espaço a com 3 subscrito espaço igual a a com 2 subscrito mais r espaço

Substituindo o valor de a2, que encontramos anteriormente, temos:

a com 3 subscrito igual a parêntese esquerdo a com 1 subscrito mais r parêntese direito mais r a com 3 subscrito igual a a com 1 subscrito mais 2 r

Se seguirmos o mesmo raciocínio, podemos encontrar:

a com 4 subscrito menos a com 3 subscrito igual a r espaço espaço seta dupla para a direita espaço a com 4 subscrito espaço igual a a com 3 subscrito mais r espaço seta dupla para a direita a com 4 subscrito igual a a com 1 subscrito mais 3 r

Observando os resultados encontrados, notamos que cada termo será igual a soma do primeiro termo com a razão multiplicada pela posição anterior.

Esse cálculo é expresso através da fórmula do termo geral da P.A., que nos permite conhecer qualquer elemento de uma progressão aritmética. Assim, temos:

a com n subscrito igual a a com 1 subscrito mais parêntese esquerdo n menos 1 parêntese direito. r

Onde,

an : termo que queremos calcular
a1: primeiro termo da P.A.
n: posição do termo que queremos descobrir
r: razão

Exemplo

Calcule o 10° termo da P.A.: (26, 31, 36, 41, …)

Solução

Primeiro, devemos identificar que a1 = 26, r = 31 – 26 = 5 e n = 10 (10º termo). Substituindo esses valores na fórmula do termo geral, temos:

an = a1 + (n – 1) . r
a10 = 26 + (10-1) . 5
a10 = 26 + 9 .5
a10 = 71

Portanto, o décimo termo da progressão aritmética indicada é igual a 71.

Soma dos Termos de uma P.A.:

Para encontrar a soma dos termos de uma P.A. finita, basta utilizar a fórmula:

S com n subscrito igual a numerador parêntese esquerdo a com 1 subscrito mais a com n subscrito parêntese direito. n sobre denominador 2 fim da fração

Onde,

Sn: soma dos n primeiros termos da P.A.
a1: primeiro termo da P.A.
an: ocupa a enésima posição na sequência
n: posição do termo

Experimente utilizar o programa que criei onde você informa o primeiro termo, o número de termos e a razão e ele efetua vários cálculos de PA inclusive mostra um gráfico de como fica a PA.

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