Categoria: Matemática

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Aplicações práticas da função quadrática

Anteriormente eu fiz um post com um resumo sobre função quadrática mas algo que eu deixei de falar foi sobre as aplicações práticas da função quadrática e é isso que vamos ver agora e você se surpreenderá ao descobrir que a função quadrática está bem mais presente no nosso dia-a-dia do que você imagina.

Aplicações práticas

Muitas pessoas se perguntam “para que aprender isso? nunca vou usar na minha vida”, porém este pensamento não está certo pois na realidade a função quadrática está bastante presente em nossas vidas.

Exemplo 1: 

Imagine que você tem uma empresa de ônibus que transporta 2400 passageiros por mês, da cidade A para a cidade B. A
passagem custa 20 reais e sua empresa deseja aumentar o preço. No entanto, o
departamento de pesquisa dela estima que, a cada 1 real de aumento no preço da
passagem, 20 passageiros deixarão de viajar pela empresa. Neste caso, qual deve ser o
preço da passagem, em reais, para maximizar o faturamento da empresa? e qual será esse faturamento?

 

Resolução:

Vamos chamar o acréscimo de x, e a cada 1 Real de acréscimo teremos -20 passageiros, portanto o número de passageiros em função do acréscimo será de 2400-20x e o ganho por cada passagem será de 20+x Reais então vamos multiplicar esses dois termos e assim ficaremos com:

Y =  -20x²+2000x+48000

Como vemos o coeficiente de “a” é negativo o que significa que a função possui um ponto máximo que é dado pelo X do vértice, (-b/2a) ou seja:

Esta será o aumento da passagem que proporcionará o maior faturamento mensal da empresa, mas de quanto será esse faturamento?

Podemos calcular isso também pelo Y do vértice (-Δ/4a), nesse caso:

Portanto esse será o faturamento máximo dessa empresa.

 

Exemplo 2: 

 

 Imagine que você é dono de um terreno de 16m de comprimento e 26m de largura e peça emprestado de seus vizinhos uma parte do terreno para plantar em uma área total de 816m², quantos metros de largura e de comprimento você teria que afastar a cerca para conseguir isso?
 
Resolução:
 
Área total do seu terreno: 416m²
Área que você pegará emprestado do vizinho do lado: 16x (16 de comprimento • x de largura)
Área que você pegará emprestado do vizinho dos fundos: 26x (26 de largura • x de comprimento)
pedacinho que falta: x².
 
Transformando isso numa equação de 2º grau ficamos com:
 
x²+26x+16x+416=816
 
Como as equações de 2º grau devem ser iguais a zero temos que passar aquele 816 para o outro lado invertendo o sinal, assim ficando com:
 
x²+26x+16x+416-816=0
x²+42x-400=0
 
Agora podemos usar a fórmula de Báskhara.
 
(Não existe medida negativa).
 
  (essa é a resposta).
 
portanto teremos que afastar a cerca 8 metros para obtermos a área desejada.
 
Prova real:
 
26+8=34
16+8=24
24•34=816m²

Exemplo 3:

Resolução:

1 – O lucro L  é dado pela receita R menos o custo C, já a receita é dada pela quantidade produzida x multiplicada pelo preço p que por sua vez é dado por 11-0,02x logo:

Como L = R-C podemos substituí – los e assim encontraremos a função L(x) para o lucro então ficamos com:

Portanto este será o lucro obtido pela venda de x copos de suco de laranja em um dia.

2 – Para encontrar qual deve ser o preço primeiro temos que descobrir para qual quantidade de copos produzidos o lucro será máximo e quem determina isso é o x do vértice que é dado por:

Agora que encontramos esse valor podemos substituir na formula do preço ficando com:

Ou seja para que o lucro seja máximo o preço do copo de suco deve ser 6 Reais

E estes foram apenas alguns dos múltiplos casos que a função quadrática está presente na nossa vida.

Temos aqui nesse site um post que calcula funções quadráticas, você apenas insere os coeficientes de a, b e c e o programa informa pra você o Delta, as raízes, o X e o Y do vértice e ainda desenha o gráfico dessa função, clique no botão abaixo para conhecê-lo.

Clique aqui para calcular suas funções quadráticas
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Resumo sobre Função quadrática

A função quadrática, também chamada de função do segundo grau, é expressa como f(x) = ax² + bx + c ou y = ax² + bx + c, sendo que os coeficientes “a, b e c” números reais e “a” diferente de 0 (zero).
 
De modo geral, as funções possuem dois elementos básicos: 1) domínio, que corresponde ao conjunto dos valores possíveis das abscissas (eixo x) e 2) imagem, que é o conjunto de valores das ordenas (eixo y), estabelecida pela aplicação de f(x). 
 
Observe abaixo outros exemplos de funções quadráticas:
 
y = x² – 4x + 3, onde a = 1, b = -4 e c = 3
y = – x² + 2x + 4, onde a = – 1, b = 2 e c = 4 
y = 3x² – 4x, onde a = 3, b = -4 e c = 0

Função quadrática completa e incompleta

Podemos ver que no exemplo y = 3x² – 4x, o coeficiente c é igual a zero, o que indica que esta é uma função incompleta, o mesmo vale quando o coeficiente b é igual a zero. Confira outros exemplos (o coeficiente “a” NUNCA será igual a zero):
 
f(x) = 2x² + 5, onde a = 2, b = 0 e c = 5
f(x) = 3x² , onde a = 3, b = 0 e c = 0
 
Existe também a função completa, a qual todos os coeficientes (a, b e c) são diferentes de zero. Confira alguns exemplos
 
f(x) = 5x² + 2y+ 1, onde a = 5, b = 2 e c = 1
f(x) = x² + 4y+ 11, onde a = 1, b = 4 e c = 11
 

Gráfico da Função quadrática

O gráfico da função quadrática é uma parábola, cuja concavidade é determinada de acordo com o valor de a. Se a > 0, a concavidade da parábola estará voltada para cima e se a < 0, a concavidade da parábola estará voltada para baixo.

Mais sobre o gráfico

  • Se b > 0 a parábola intersecta o eixo Y subindo.
  • Se b = 0 a parábola intersecta o eixo Y “reta”.
  • Se b < 0 a parábola intersecta o eixo Y descendo.
  • c é o ponto em que a parábola vai intersectar o eixo Y.
  • Se Δ > 0 a parábola corta o eixo X duas vezes.
  • Se Δ = 0 a parábola tangencia o eixo X.
  • Se Δ < 0 a parábola não encostará no eixo X.

Raízes e Vértice

Dois conceitos estão relacionados à concavidade da parábola: as raízes (pontos onde o gráfico intercepta o eixo x) e o vértice (ponto de máximo ou mínimo a função). As raízes podem ser calculadas pela fórmula de Bháskara ou outros métodos. Lembrando que, as funções quadráticas possuem apenas duas raízes.

Em relação ao vértice, na função de primeiro grau é possível traçar o gráfico a partir de dois pontos. Contudo, isso não acontece na função de segundo grau, pois é necessário conhecer mais que dois pontos.

A partir do valor do = b² – 4ac, sabemos que:

• Se > 0, a função possui duas raízes reais distintas e a parábola intercepta o eixo x em dois pontos diferentes;
• Se = 0, a função possui duas raízes reais iguais e a parábola é tangente ao eixo x;
• Se < 0, a função não possui raízes reais e a parábola não intercepta o eixo x;

Exemplo:

Encontre as raízes  (ou zeros) da função f(x) = x2 – 5x + 6.

Solução:

Sendo
a = 1
b = – 5
c = 6

Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:

x igual a numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de b ao quadrado menos 4 a c fim da raiz sobre denominador 2 a fim da fração igual a numerador 5 mais ou menos raiz quadrada de 25 menos 24 fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração x com 1 subscrito igual a numerador 5 mais 1 sobre denominador 2 fim da fração igual a 6 sobre 2 igual a 3 x com 2 subscrito igual a numerador 5 menos 1 sobre denominador 2 fim da fração igual a 4 sobre 2 igual a 2

Portanto, as raízes são 2 e 3.

Conheça também:

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Cálculo de função quadrática
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Cálculo de juro composto

INFORMAÇÕES IMPORTANTES:

1- Para o campo “taxa de juros” coloque o número inteiro pois o próprio programa vai convertê-lo para porcentagem (ex: se você quiser 10% digite apenas 10 não 0,1).

2 – Não esqueça que o tempo e a taxa de juros devem estar na mesma unidade (ex: se a taxa de juros for mensal você deve colocar o tempo em meses) e que todos os valores devem ser positivos.

Fórmulas:

Montante:

Juros:

Onde:

J = Juros

C = Capital investido

i = Taxa de juros

t = Tempo

M = Montante

O montante obtido após esse tempo é de: R$

A quantidade de juros obtidos após esse tempo é de: R$

Representação gráfica