Matemática – Página: 13 – Matemática do João Vitor

14 de agosto de 202012 de março de 2021

Curiosidade sobre PG e xadrez

No post anterior eu coloquei uma imagem de um tabuleiro de xadrez com grãos de arroz em uma progressão geométrica, essa imagem faz referência a lenda de como surgiu o jogo de xadrez.

Clique aqui para ver o post sobre PG.

A lenda:

Diz a lenda que o jogo de xadrez foi inventado na índia há mais de 1500 anos, o inventor apresentou seu jogo ao rei que gostou tanto do jogo que prometeu dar qualquer coisa que o inventor quisesse, no entanto a resposta dele deixou o rei muito surpreso, ele pediu que na primeira casa do tabuleiro fosse colocado um grão de arroz, dois grãos na segunda, quatro na terceira e assim por diante sempre colocando o dobro de grãos de arroz da casa anterior, até que completasse todas as 64 casas, o rei estranhou o pedido do inventor mas palavra de rei é palavra de rei portanto ele tinha que cumprir, mas depois que foi calculado a quantidade de grãos de arroz foi obtido o número: 18.446.744.073.709.552.000

(ou seja 18 quintilhões 446 quadrilhões 744 trilhões 73 bilhões 709 milhões 552 mil grãos de arroz).

Mas o que isso significa?

Vamos fazer os cálculos aqui, eu pesquisei e encontrei que 1kg de arroz tem cerca de 51 mil grãos de arroz, logo uma tonelada tem cerca de 51 milhões de grãos de arroz e fazendo a conta encontramos um total de:

$\frac{18446744073709552000}{51000000}=361700864190$

Ou seja: (361 bilhões 700 milhões 864 mil 190) toneladas de arroz.

Mas quanto tempo levaria para produzir essa quantidade de arroz?

Pesquisando eu encontrei que a produção mundial de arroz no ano de 2014 foi cerca de 741,5 milhões de toneladas, agora eu vou assumir que este número é constante desde que começou a produção de arroz pelo mundo, (o que claramente não é o caso devido a fatores como a população que era bem menor entre outros)..

Ainda assim seriam necessários:

$\frac{361700864190}{741500000}\approx 488$

aproximadamente 488 anos produzindo 741,5 milhões de toneladas de arroz apenas para realizar o pedido do inventor do xadrez, quando o rei se deu conta disso ele pediu perdão para o inventor pois não poderia cumprir sua promessa, o inventor do jogo perdoou o rei e ainda deixou o jogo e também a lembrança de não prometer coisas que não possa cumprir.

12 de agosto de 202012 de março de 2021

Progressão Geométrica (PG)

Progressão Geométrica (PG) consiste em uma sequência numérica cujo quociente (q) ou razão entre um número e outro (exceto o primeiro) é sempre igual.

Em outras palavras, o número multiplicado pela razão (q) estabelecida na sequência, corresponderá ao próximo número, por exemplo:

PG: (2,4,8,16, 32, 64, 128, 256…)

No exemplo acima, podemos constatar que na razão (q) da PG entre os números, o número que multiplicado por esta determina seu consecutivo, é o número 2:

2 . 2 = 4
4 . 2 = 8
8 . 2 = 16
16 . 2 = 32
32 . 2 = 64
64 . 2 = 128
128 . 2 = 256

Vale lembrar que a razão de uma PG é sempre constante e pode ser qualquer número racional (positivos, negativos, frações) exceto o número zero.

Classificação das Progressões Geométricas

De acordo com o valor da razão , podemos dividir as Progressões Geométricas (PG) em 4 tipos:

PG Crescente

Neste caso a razão é sempre positiva ( ou seja q > 0) e o primeiro termo positivo (a1 > 0) formada por números crescentes, por exemplo:

(1, 3, 9, 27, 81, …), onde q = 3 e a1 = 1

PG Decrescente

Na PG decrescente, a razão é sempre positiva (q > 0) e o primeiro termo negativo (a1 < 0) formada por números decrescentes.

Ou seja, os números da sequência são sempre menores do que seus antecessores, por exemplo:

(-1, -3, -9, -27, -81, …) onde q = 3 e a1 = -1

PG Oscilante

Na PG oscilante, a razão é negativa (q < 0), formada por números negativos e positivos, por exemplo:

(3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,…), onde q = -2

PG Constante

Na PG constante, a razão é sempre igual a 1 formada pelos mesmos números a, por exemplo:

(5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, …) onde q = 1

PG Estacionária

Neste tipo de PG o primeiro termo pode ser qualquer número diferente de zero e a razão igual a zero (q = 0), formada pelo primeiro termo e pelos demais termos sendo iguais a zero por exemplo:

(8, 0, 0, 0, 0, 0, 0, …) onde a1 = 8 e q = 0

Fórmula do Termo Geral

Para encontrar qualquer elemento da PG, utiliza-se a expressão:

a_n = a₁ . q^(n-1)

Onde:

a_n: número que queremos obter
a₁: o primeiro número da sequência
q^(n-1): razão elevada ao número que queremos obter, menos 1

Assim, para identificar o termo 20 de uma PG de razão q = 2 e número inicial 2, calcula-se:

PG: (2,4,8,16, 32, 64, 128,…)

a₂₀ = 2 . 2^(20-1)
a₂₀ = 2 . 2¹⁹
a₂₀ = 1048576

Soma dos Termos da PG

Para calcular a soma dos números presentes numa PG, utiliza-se a seguinte fórmula:

$S com n subscrito igual a numerador a com 1 subscrito parêntese esquerdo q à potência de n menos 1 parêntese direito sobre denominador q menos 1 fim da fração$

onde:

Sn: Soma dos números da PG
a1: primeiro termo da sequência
q : razão
n: quantidade de elementos da PG

Dessa forma, para calcular a soma dos 10 primeiros termos da seguinte PG (1,2,4,8,16, 32,…):

$S com 10 subscrito igual a numerador 1 parêntese esquerdo 2 à potência de 10 menos 1 parêntese direito sobre denominador 2 menos 1 fim da fração S com 10 subscrito igual a 1023$

Veja aqui uma curiosidade sobre PG e o jogo de xadrez.

Experimente utilizar o programa que criei onde você informa o primeiro termo, o número de termos e a razão e ele efetua vários cálculos de PG inclusive mostra um gráfico de como fica a PG.

11 de agosto de 202012 de março de 2021

Progressão Aritmética (PA)

A Progressão Aritmética (P.A.) consiste em uma sequência numérica onde a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão da P.A..

Sendo assim, a partir do segundo elemento da sequência, os números que surgem são resultantes da soma da razão com o valor do elemento anterior.

Isso é o que a diferencia da progressão geométrica (P.G.), pois nesta, os números são multiplicados pela razão, enquanto na progressão aritmética, eles são somados.

As progressões aritméticas podem apresentar um número determinado de termos (P.A. finita) ou um número infinito de termos (P.A. infinita).

Quando a P.A. é infinita utilizamos reticencias para indicar isso, por exemplo:

a sequência (4, 7, 10, 13, 16, …) é uma P.A. infinita.

a sequência (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) é uma P.A. finita.

Cada termo de uma P.A. é identificado pela posição que ocupa na sequência e para representar cada termo utilizamos uma letra (normalmente a letra a) seguida de um

número que indica sua posição na sequência.

Por exemplo, o termo a₄ na P.A (2, 4, 6, 8, 10) é o número 8, pois é o número que ocupa a 4ª posição na sequência.

Classificação de uma P.A.

As progressões aritméticas são classificadas em relação ao valor da razão, no caso elas podem ser:

Constantes: quando r = 0. Por exemplo: (4, 4, 4, 4, 4…), sendo r = 0.

Crescentes: quando r > 0 Por exemplo: (2, 4, 6, 8,10…), sendo r = 2.

Decrescentes: quando r < 0 Por exemplo (15, 10, 5, 0, – 5,…), sendo r = – 5

Propriedades da P.A.

1ª propriedade:

Em uma P.A. finita, a soma de dois termos equidistantes (ou seja com a mesma distância) dos extremos é igual à soma dos extremos.

Exemplo:

2ª propriedade:

Considerando três termos consecutivos de uma P.A., o termo do meio será igual a média aritmética dos outros dois termos.

Exemplo:

3ª propriedade:

Em uma P.A. finita com número de termos ímpar, o termo central será igual a média aritmética dos extremos (primeiro termo e último termo)

Exemplo:

Fórmula do termo geral:

Como a razão de uma P.A. é constante, podemos calcular seu valor a partir de quaisquer termos consecutivos, ou seja:

$r igual a a com 2 subscrito menos a com 1 subscrito igual a a com 3 subscrito menos a com 2 subscrito igual a a com 4 subscrito menos a com 3 subscrito igual a... igual a a com n subscrito menos a com n menos 1 subscrito fim do subscrito$

Sendo assim, podemos encontrar o valor do segundo termo da P.A. fazendo:

$a com 2 subscrito menos a com 1 subscrito igual a r espaço espaço seta dupla para a direita espaço a com 2 subscrito igual a a com 1 subscrito mais r$

Para encontrar o terceiro termo utilizaremos o mesmo cálculo:

$a com 3 subscrito menos a com 2 subscrito igual a r espaço espaço seta dupla para a direita espaço a com 3 subscrito espaço igual a a com 2 subscrito mais r espaço$

Substituindo o valor de a₂, que encontramos anteriormente, temos:

$a com 3 subscrito igual a parêntese esquerdo a com 1 subscrito mais r parêntese direito mais r a com 3 subscrito igual a a com 1 subscrito mais 2 r$

Se seguirmos o mesmo raciocínio, podemos encontrar:

$a com 4 subscrito menos a com 3 subscrito igual a r espaço espaço seta dupla para a direita espaço a com 4 subscrito espaço igual a a com 3 subscrito mais r espaço seta dupla para a direita a com 4 subscrito igual a a com 1 subscrito mais 3 r$

Observando os resultados encontrados, notamos que cada termo será igual a soma do primeiro termo com a razão multiplicada pela posição anterior.

Esse cálculo é expresso através da fórmula do termo geral da P.A., que nos permite conhecer qualquer elemento de uma progressão aritmética. Assim, temos:

$a com n subscrito igual a a com 1 subscrito mais parêntese esquerdo n menos 1 parêntese direito. r$

Onde,

a_n: termo que queremos calcular
a₁: primeiro termo da P.A.
n: posição do termo que queremos descobrir
r: razão

Exemplo

Calcule o 10° termo da P.A.: (26, 31, 36, 41, …)

Solução

Primeiro, devemos identificar que a₁ = 26, r = 31 – 26 = 5 e n = 10 (10º termo). Substituindo esses valores na fórmula do termo geral, temos:

a_n = a₁ + (n – 1) . r
a₁₀ = 26 + (10-1) . 5
a₁₀ = 26 + 9 .5
a₁₀ = 71

Portanto, o décimo termo da progressão aritmética indicada é igual a 71.

Soma dos Termos de uma P.A.:

Para encontrar a soma dos termos de uma P.A. finita, basta utilizar a fórmula:

$S com n subscrito igual a numerador parêntese esquerdo a com 1 subscrito mais a com n subscrito parêntese direito. n sobre denominador 2 fim da fração$

Onde,

Sn: soma dos n primeiros termos da P.A.
a1: primeiro termo da P.A.
an: ocupa a enésima posição na sequência
n: posição do termo

Experimente utilizar o programa que criei onde você informa o primeiro termo, o número de termos e a razão e ele efetua vários cálculos de PA inclusive mostra um gráfico de como fica a PA.