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INSTRUÇÕES DE PREENCHIMENTO:
1- Preencha as variáveis a1, n e r em seus respectivos campos.
2- Como n = nº de termos então necessariamente n > 0.
3- Clique em calcular e você terá a lista com todos os termos desta PA, a soma de todos eles e também o gráfico dessa PA.
Fórmulas:
Onde:
an = o termo que você quer encontrar
a1 = primeiro termo
n = número de termos
r = Razão da PA
Onde:
Sn = Soma dos n termos dessa PA
a1 = primeiro termo
an = último termo
n = número de termos
No post anterior eu coloquei uma imagem de um tabuleiro de xadrez com grãos de arroz em uma progressão geométrica, essa imagem faz referência a lenda de como surgiu o jogo de xadrez.
Clique aqui para ver o post sobre PG.
Diz a lenda que o jogo de xadrez foi inventado na índia há mais de 1500 anos, o inventor apresentou seu jogo ao rei que gostou tanto do jogo que prometeu dar qualquer coisa que o inventor quisesse, no entanto a resposta dele deixou o rei muito surpreso, ele pediu que na primeira casa do tabuleiro fosse colocado um grão de arroz, dois grãos na segunda, quatro na terceira e assim por diante sempre colocando o dobro de grãos de arroz da casa anterior, até que completasse todas as 64 casas, o rei estranhou o pedido do inventor mas palavra de rei é palavra de rei portanto ele tinha que cumprir, mas depois que foi calculado a quantidade de grãos de arroz foi obtido o número: 18.446.744.073.709.552.000
(ou seja 18 quintilhões 446 quadrilhões 744 trilhões 73 bilhões 709 milhões 552 mil grãos de arroz).
Vamos fazer os cálculos aqui, eu pesquisei e encontrei que 1kg de arroz tem cerca de 51 mil grãos de arroz, logo uma tonelada tem cerca de 51 milhões de grãos de arroz e fazendo a conta encontramos um total de:
Ou seja: (361 bilhões 700 milhões 864 mil 190) toneladas de arroz.
Pesquisando eu encontrei que a produção mundial de arroz no ano de 2014 foi cerca de 741,5 milhões de toneladas, agora eu vou assumir que este número é constante desde que começou a produção de arroz pelo mundo, (o que claramente não é o caso devido a fatores como a população que era bem menor entre outros)..
Ainda assim seriam necessários:
aproximadamente 488 anos produzindo 741,5 milhões de toneladas de arroz apenas para realizar o pedido do inventor do xadrez, quando o rei se deu conta disso ele pediu perdão para o inventor pois não poderia cumprir sua promessa, o inventor do jogo perdoou o rei e ainda deixou o jogo e também a lembrança de não prometer coisas que não possa cumprir.
Progressão Geométrica (PG) consiste em uma sequência numérica cujo quociente (q) ou razão entre um número e outro (exceto o primeiro) é sempre igual.
Em outras palavras, o número multiplicado pela razão (q) estabelecida na sequência, corresponderá ao próximo número, por exemplo:
PG: (2,4,8,16, 32, 64, 128, 256…)
No exemplo acima, podemos constatar que na razão (q) da PG entre os números, o número que multiplicado por esta determina seu consecutivo, é o número 2:
2 . 2 = 4
4 . 2 = 8
8 . 2 = 16
16 . 2 = 32
32 . 2 = 64
64 . 2 = 128
128 . 2 = 256
Vale lembrar que a razão de uma PG é sempre constante e pode ser qualquer número racional (positivos, negativos, frações) exceto o número zero.
De acordo com o valor da razão , podemos dividir as Progressões Geométricas (PG) em 4 tipos:
Neste caso a razão é sempre positiva ( ou seja q > 0) e o primeiro termo positivo (a1 > 0) formada por números crescentes, por exemplo:
(1, 3, 9, 27, 81, …), onde q = 3 e a1 = 1
Na PG decrescente, a razão é sempre positiva (q > 0) e o primeiro termo negativo (a1 < 0) formada por números decrescentes.
Ou seja, os números da sequência são sempre menores do que seus antecessores, por exemplo:
(-1, -3, -9, -27, -81, …) onde q = 3 e a1 = -1
Na PG oscilante, a razão é negativa (q < 0), formada por números negativos e positivos, por exemplo:
(3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,…), onde q = -2
Na PG constante, a razão é sempre igual a 1 formada pelos mesmos números a, por exemplo:
(5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, …) onde q = 1
Neste tipo de PG o primeiro termo pode ser qualquer número diferente de zero e a razão igual a zero (q = 0), formada pelo primeiro termo e pelos demais termos sendo iguais a zero por exemplo:
(8, 0, 0, 0, 0, 0, 0, …) onde a1 = 8 e q = 0
Para encontrar qualquer elemento da PG, utiliza-se a expressão:
an = a1 . q(n-1)
Onde:
an: número que queremos obter
a1: o primeiro número da sequência
q(n-1): razão elevada ao número que queremos obter, menos 1
Assim, para identificar o termo 20 de uma PG de razão q = 2 e número inicial 2, calcula-se:
PG: (2,4,8,16, 32, 64, 128,…)
a20 = 2 . 2(20-1)
a20 = 2 . 219
a20 = 1048576
Para calcular a soma dos números presentes numa PG, utiliza-se a seguinte fórmula:
onde:
Sn: Soma dos números da PG
a1: primeiro termo da sequência
q : razão
n: quantidade de elementos da PG
Dessa forma, para calcular a soma dos 10 primeiros termos da seguinte PG (1,2,4,8,16, 32,…):
