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Aplicações práticas da função quadrática

Anteriormente eu fiz um post com um resumo sobre função quadrática mas algo que eu deixei de falar foi sobre as aplicações práticas da função quadrática e é isso que vamos ver agora e você se surpreenderá ao descobrir que a função quadrática está bem mais presente no nosso dia-a-dia do que você imagina.

Aplicações práticas

Muitas pessoas se perguntam “para que aprender isso? nunca vou usar na minha vida”, porém este pensamento não está certo pois na realidade a função quadrática está bastante presente em nossas vidas.

Exemplo 1: 

Imagine que você tem uma empresa de ônibus que transporta 2400 passageiros por mês, da cidade A para a cidade B. A
passagem custa 20 reais e sua empresa deseja aumentar o preço. No entanto, o
departamento de pesquisa dela estima que, a cada 1 real de aumento no preço da
passagem, 20 passageiros deixarão de viajar pela empresa. Neste caso, qual deve ser o
preço da passagem, em reais, para maximizar o faturamento da empresa? e qual será esse faturamento?

 

Resolução:

Vamos chamar o acréscimo de x, e a cada 1 Real de acréscimo teremos -20 passageiros, portanto o número de passageiros em função do acréscimo será de 2400-20x e o ganho por cada passagem será de 20+x Reais então vamos multiplicar esses dois termos e assim ficaremos com:

Y =  -20x²+2000x+48000

Como vemos o coeficiente de “a” é negativo o que significa que a função possui um ponto máximo que é dado pelo X do vértice, (-b/2a) ou seja:

Esta será o aumento da passagem que proporcionará o maior faturamento mensal da empresa, mas de quanto será esse faturamento?

Podemos calcular isso também pelo Y do vértice (-Δ/4a), nesse caso:

Portanto esse será o faturamento máximo dessa empresa.

 

Exemplo 2: 

 

 Imagine que você é dono de um terreno de 16m de comprimento e 26m de largura e peça emprestado de seus vizinhos uma parte do terreno para plantar em uma área total de 816m², quantos metros de largura e de comprimento você teria que afastar a cerca para conseguir isso?
 
Resolução:
 
Área total do seu terreno: 416m²
Área que você pegará emprestado do vizinho do lado: 16x (16 de comprimento • x de largura)
Área que você pegará emprestado do vizinho dos fundos: 26x (26 de largura • x de comprimento)
pedacinho que falta: x².
 
Transformando isso numa equação de 2º grau ficamos com:
 
x²+26x+16x+416=816
 
Como as equações de 2º grau devem ser iguais a zero temos que passar aquele 816 para o outro lado invertendo o sinal, assim ficando com:
 
x²+26x+16x+416-816=0
x²+42x-400=0
 
Agora podemos usar a fórmula de Báskhara.
 
(Não existe medida negativa).
 
  (essa é a resposta).
 
portanto teremos que afastar a cerca 8 metros para obtermos a área desejada.
 
Prova real:
 
26+8=34
16+8=24
24•34=816m²

Exemplo 3:

Resolução:

1 – O lucro L  é dado pela receita R menos o custo C, já a receita é dada pela quantidade produzida x multiplicada pelo preço p que por sua vez é dado por 11-0,02x logo:

Como L = R-C podemos substituí – los e assim encontraremos a função L(x) para o lucro então ficamos com:

Portanto este será o lucro obtido pela venda de x copos de suco de laranja em um dia.

2 – Para encontrar qual deve ser o preço primeiro temos que descobrir para qual quantidade de copos produzidos o lucro será máximo e quem determina isso é o x do vértice que é dado por:

Agora que encontramos esse valor podemos substituir na formula do preço ficando com:

Ou seja para que o lucro seja máximo o preço do copo de suco deve ser 6 Reais

E estes foram apenas alguns dos múltiplos casos que a função quadrática está presente na nossa vida.

Temos aqui nesse site um post que calcula funções quadráticas, você apenas insere os coeficientes de a, b e c e o programa informa pra você o Delta, as raízes, o X e o Y do vértice e ainda desenha o gráfico dessa função, clique no botão abaixo para conhecê-lo.

Clique aqui para calcular suas funções quadráticas
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Curiosidade sobre PG e xadrez

No post anterior eu coloquei uma imagem de um tabuleiro de xadrez com grãos de arroz em uma progressão geométrica, essa imagem faz referência a lenda de como surgiu o jogo de xadrez.

Clique aqui para ver o post sobre PG.

A lenda:

Diz a lenda que o jogo de xadrez foi inventado na índia há mais de 1500 anos, o inventor apresentou seu jogo ao rei que gostou tanto do jogo que prometeu dar qualquer coisa que o inventor quisesse, no entanto a resposta dele deixou o rei muito surpreso, ele pediu que na primeira casa do tabuleiro fosse colocado um grão de arroz, dois grãos na segunda, quatro na terceira e assim por diante sempre colocando o dobro de grãos de arroz da casa anterior, até que completasse todas as 64 casas, o rei estranhou o pedido do inventor mas palavra de rei é palavra de rei portanto ele tinha que cumprir, mas depois que foi calculado a quantidade de grãos de arroz foi obtido o número: 18.446.744.073.709.552.000

(ou seja 18 quintilhões 446 quadrilhões 744 trilhões 73 bilhões 709 milhões 552 mil grãos de arroz).

Mas o que isso significa?

Vamos fazer os cálculos aqui, eu pesquisei e encontrei que 1kg de arroz tem cerca de 51 mil grãos de arroz, logo uma tonelada tem cerca de 51 milhões de grãos de arroz e fazendo a conta encontramos um total de: 

Ou seja: (361 bilhões 700 milhões 864 mil 190) toneladas de arroz.

Mas quanto tempo levaria para produzir essa quantidade de arroz?

Pesquisando eu encontrei que a produção mundial de arroz no ano de 2014 foi cerca de 741,5 milhões de toneladas, agora eu vou assumir que este número é constante desde que começou a produção de arroz pelo mundo, (o que claramente não é o caso devido a fatores como a população que era bem menor entre outros)..

Ainda assim seriam necessários: 

aproximadamente 488 anos produzindo 741,5 milhões de toneladas de arroz apenas para realizar o pedido do inventor do xadrez, quando o rei se deu conta disso ele pediu perdão para o inventor pois não poderia cumprir sua promessa, o inventor do jogo perdoou o rei e ainda deixou o jogo e também a lembrança de não prometer coisas que não possa cumprir.