definição – Matemática do João Vitor

24 de março de 202124 de março de 2021

Arranjo e combinação

Anteriormente eu havia feito aqui nesse site um post sobre fatorial e lá eu mencionei que fatorial também é usado em arranjo e combinação então aqui eu vou explicar esses conceitos.

Arranjo:

Na análise combinatória, arranjo são os modos diferentes de organizar os objetos de um conjunto, em uma ordem específica. Isto implica toda a disposição ou rearranjo que for possível.

Fórmula:

$A_n_p=\frac{n!}{(n-p)!}$

Onde:

n = número de objetos.

p = número de posições.

Combinação:

A combinação é definida como as diferentes formas de seleção de um grupo, tendo alguns ou todos os itens de um conjunto, sem que a ordem importe.

Fórmula:

$C_n_p=\frac{n!}{p!\cdot (n-p)!}$

Onde:

n = número de objetos.

p = número de posições.

Quando usar arranjo ou combinação:

Algo que muitos se confundem é sobre quando devemos usar combinação e quando devemos usar arranjo, porém a resposta é bastante simples, você deve observar se a ordem é importante, se a resposta for sim você utiliza arranjo, se não for, é combinação

Exemplo 1:

Um exemplo que é muito utilizado é no sorteio da Mega Sena, onde você tem que escolher 6 números entre 1 e 60, quantas são as possibilidades de sequências no sorteio da Mega Sena?

Resolução:

Podemos perceber que nesse caso a ordem não é importante, afinal se os números sorteados forem 8, 15, 19, 27, 36, 45 e 58 será a mesma coisa que se forem sorteados os números 36, 8, 45, 15, 58 e 27 então nesse caso é usado combinação ou seja:

$C=\frac{60!}{6!\cdot (60-6)!}$

$C=\frac{60\cdot 59\cdot 58\cdot 57\cdot 56\cdot 55\cdot 54!}{6!\cdot 54!}$

$C=\frac{60\cdot 59\cdot 58\cdot 57\cdot 56\cdot 55}{720}$

$C=\frac{36045979200}{720}=50063860$

Essa é a quantidade de sequências que podem ser sorteadas na Mega Sena

Exemplo 2:

Um número de telefone é formado por 9 algarismos, de 0 a 9. Sendo assim, quantos números de telefone diferentes nós podemos ter?

Resolução:

Neste exemplo podemos perceber que a ordem importa, afinal um número de telefone 123456789 é diferente de um número de telefone 987654321, então deve ser usado o arranjo, da seguinte forma:

$A=\frac{10!}{(10-9)!}$

$A=\frac{10!}{1!}$

$A=\frac{10!}{1}=10!=3628800$

Esse é o número de telefones diferentes que podemos ter.

Segue abaixo um vídeo de uma música para você não esquecer mais quando utilizar arranjo ou combinação:

Agora que você aprendeu isso você pode usar um desses programas aqui do site para calcular arranjo ou combinação, clique num dos botões para conhecê-los:

24 de março de 202124 de março de 2021

Definição de fatorial

O fatorial é uma operação muito importante para o estudo e desenvolvimento da análise combinatória. Na matemática o número seguido do símbolo de exclamação (!) é conhecido como fatorial, por exemplo, n! (n fatorial).

Conhecemos como fatorial de um número natural a multiplicação desse número por seus antecessores com exceção do zero, ou seja:

$n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)...\cdot 3\cdot 2\cdot 1$

OBS: o fatorial é calculado apenas com números inteiros positivos, não é calculado com números negativos, frações ou decimais e por definição:

0! = 1

1! = 1

Operações com fatorial:

Para resolver operações com fatorial, é importante tomar cuidado para não cometer alguns erros. Quando vamos somar, subtrair ou multiplicar dois fatoriais, é necessário calcular cada um deles separadamente. Somente a divisão possui formas específicas para a realização de simplificações. Não cometa o erro de realizar a operação e conservar o fatorial, seja para adição e subtração, seja para multiplicação.

2! + 3! ≠ 5!
4! · 2! ≠ 8!
7! – 5! ≠ 2!

Na hora de resolver qualquer uma dessas operações, devemos calcular cada um dos fatoriais, neste caso:

$2!+3!=(2\cdot 1)+(3\cdot 2\cdot 1)=2+6=8$

$4!\cdot 2!=(4\cdot 3\cdot 2\cdot 1)\cdot (2\cdot 1)=24\cdot 2=48$

$7!- 5!=(7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1)- (5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1)=5040- 120=4920$

Simplificação de divisão de fatoriais:

Observe a seguinte divisão:

$\frac{8!}{5!}$

As divisões de fatorial são bastante recorrentes em fórmulas de arranjo e combinação, então podemos usar a simplificação para resolver esses tipos de problemas, dessa forma:

Primeiro temos que identificar o maior dos fatoriais, (na divisão acima é 8!), agora analisando o denominador (5!) vamos fazer a multiplicação de 8 por seus antecessores até chegar a 5!, ou seja:

$\frac{8!}{5!}=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!}{5!}$

Agora podemos simplificar por 5! e fazer as multiplicações e assim teremos o resultado.

$\frac{8!}{5!}=8\cdot 7\cdot 6=336$

Permutação:

A permutação é a reordenação de todos os elementos de um conjunto. Para calcular uma permutação, nós recorremos ao fatorial, pois a permutação de n elementos é calculada por:

$P_n=n!$

Exemplo:

De quantas maneiras uma família de 5 pessoas pode se sentar num banco de 5 lugares para tirar uma foto?

Resolução:

$P_5=5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$

120 maneiras diferentes

O fatorial também é usado nos cálculos de arranjo e combinação e aqui no site tem um post que fala sobre isso, clique no botão abaixo para conhecê-lo, ou clique no outro botão para ir para o programa que calcula fatorial:

10 de março de 202112 de março de 2021

Definição hexágono regular

Hexágono é um polígono que possui seis lados delimitados por segmentados de reta.

O hexágono regular é aquele que é formado pela junção de seis triângulos equiláteros, por essa razão todos os lados possuem a mesma medida e seus ângulos internos são de 120º. Portanto, a área do hexágono é seis vezes a área de um triângulo equilátero que o compõe.

Perímetro e área:

O perímetro de um hexágono regular é dado pela fórmula:

$p=6l$

Onde:

p = perímetro

l = medida dos lados

Para calcular a área é usada a seguinte fórmula:

$a=\frac{3l^{2}\sqrt{3}}{2}$

a = área

l = medida dos lados

Veja a seguir os passos para chegar á essa fórmula:

Como dito anteriormente a área de um hexágono regular é dada pela área de seis triânguloss equiláteros e para a área de um triângulo é usada a seguinte fórmula:

$a=\frac{b\cdot h}{2}$

b = base

h = altura

Para descobrir a altura de um triângulo equilátero é necessário traçar um segmento no meio de um de seus lados dividindo ele em dois triângulos retângulos, desta forma:

Como temos triângulos retângulos podemos utilizar o Teorema de Pitágoras para calcular a altura desse triângulo da seguinte forma:

$l^{2}=h^{2}+\left (\frac{l}{2} \right )^{2}$

$h^{2}=l^{2}-\frac{l^{2}}{4}$

$h^{2}=\frac{3l^{2}}{4}$

$h=\frac{\sqrt{3}}{2}l$

Substituindo na fórmula da área do triângulo:

$a=\frac{l\cdot l\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}$

fazendo as multiplicações obtemos que:

$a=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}$

Porém essa é a área de apenas um dos triângulos equiláteros e o hexágono é formado por seis desses portanto:

$a_h=\frac{6l^{2}\sqrt{3}}{4}$

fazendo a simplificação:

$a_h=\frac{3l^{2}\sqrt{3}}{2}$

Apótema:

O apótema nada mais é do que a altura do triângulo equilátero que nós encontramos anteriormente e ele também pode ser usado para calcular a área com a seguinte fórmula:

$a=\frac{p\cdot \alpha }{2}$

Onde:

a = área

p = perímetro

α = apótema

Quando um hexágono regular está inscrito em uma circunferência, os seis vértices da figura dividem a circunferência em seis partes iguais. Neste caso, o raio da circunferência (r) coincide com o lado do hexágono (l), pois formam um triângulo equilátero $incremento OAB$ . Como vemos na figura abaixo:

Sendo , aplicamos o Teorema de Pitágoras e encontramos a fórmula para calcular o apótema da seguinte forma:

$r^{2}=\alpha ^{2}+\frac{r^{2}}{4}$

$\alpha ^{2}=r^{2}-\frac{r^{2}}{4}$

$\alpha ^{2}=\frac{3r^{2}}{4}$

$\alpha=\frac{r\cdot \sqrt{3}}{2}$

Exemplo:

Para fazer um hexágono Pedro cortou uma cartolina e com uma régua mediu que todos os lados tinham 10 cm. Qual o perímetro, a área e o apótema do hexágono que Pedro criou?

Resolução:

perímetro: $p=10\cdot 6=60cm$

área: $a=\frac{300\sqrt{3}}{2}=150\sqrt{3}cm^{2}$

apótema: $\alpha=\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}cm$

Aqui no site existe um post feito para calcular o perímetro, a área e o apótema do hexágono regular, basta você inserir a medida do lado que ele te entregará todas as outras, clique no botão abaixo para conhecê-lo: