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Definição função afim

A função afim, também chamada de função do 1º grau, é uma função f : ℝ→ℝ, definida como f(x) = ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0. As funções f(x) = x + 5, g(x) = 3√3x – 8 e h(x) = 1/2 x são exemplos de funções afim.

Neste tipo de função, o número a é chamado de coeficiente de x e representa a taxa de crescimento ou taxa de variação da função. Já o número b é chamado de termo constante.

Gráfico:

O gráfico de uma função polinomial do 1º grau é uma reta oblíqua aos eixos X e Y. Desta forma, para construirmos seu gráfico basta encontrarmos pontos que satisfaçam a função.

 

Exemplo: Construa o gráfico da função f (x) = 2x + 3.

Resolução :

Para construir o gráfico desta função, vamos atribuir valores arbitrários para x, substituir na equação e calcular o valor correspondente para a f (x).

Sendo assim, iremos calcular a função para os valores de x iguais a: – 2, – 1, 0, 1 e 2. Substituindo esses valores na função, temos:

f (- 2) = 2. (- 2) + 3 = – 4 + 3 = – 1
f (- 1) = 2 . (- 1) + 3 = – 2 + 3 = 1
f (0) = 2 . 0 + 3 = 3
f (1) = 2 . 1 + 3 = 5
f (2) = 2 . 2 + 3 = 7

Os pontos escolhidos e o gráfico da f (x) são apresentados na imagem abaixo:

No exemplo, utilizamos vários pontos para construir o gráfico, entretanto, para definir uma reta bastam dois pontos.

Para facilitar os cálculos podemos, por exemplo, escolher os pontos (0,y) e (x,0). Nestes pontos, a reta da função corta o eixo X e Y respectivamente (esses pontos são chamados de interceptos).

Interceptos:

Os interceptos são os pontos em que a reta intercepta os eixos X e Y (ou seja os pontos em que o valor de X ou o valor de Y será igual a zero) onde:

intercepto de X = 

Intercepto de Y:  (também chamado de raiz da função)

No caso da função mostrada acima os interceptos seriam: (0,3) e (-1,5, 0)

Coeficiente Linear e Angular

Como o gráfico de uma função afim é uma reta, o coeficiente a de x é também chamado de coeficiente angular. Esse valor representa a inclinação da reta em relação ao eixo X

O termo constante b é chamado de coeficiente linear e representa o ponto onde a reta corta o eixo Y. Pois sendo x = 0, temos:

y = a.0 + b ⇒ y = b

Quando uma função afim apresentar o coeficiente angular igual a zero (a = 0) a função será chamada de constante. Neste caso, o seu gráfico será uma reta paralela ao eixo X.

Abaixo representamos o gráfico da função constante f (x) = 4:

Função identidade

A função identidade ocorre quando b = 0 e a = 1 (ou seja f(x) = x) e o gráfico é uma reta que passa pela origem (0,0) e é bissetriz dos quadrantes 1 e 3 (ou seja divide eles ao meio)

Observe abaixo o gráfico da função identidade.

Função linear

A função identidade ocorre quando b = 0  (ou seja f(x) = ax)

Por exemplo as funções f (x) = 2x e g (x) = – 3x são funções lineares.

O gráfico das funções lineares são retas inclinadas que passam pela origem (0,0).

Representamos abaixo o gráfico da função linear f (x) = – 3x:

Função crescente ou decrescente

O que determina se uma função é crescene ou decrescente é o “a”

se a > 0 = função crescente

se a < 0 = função decrescente

Por exemplo, a função 2x – 4 é crescente, pois a = 2 (valor positivo). Entretanto, a função – 2x + – 4 é decrescente visto que a = – 2 (negativo). Essas funções estão representadas nos gráficos abaixo:

Exemplo:

Dada a função f(x) = 3x -2 determine:

a) os coeficientes angular e linear.

b) se é crescente ou decrescente

c) os interceptos.

d) o gráfico dessa função.

Resolução:

a) Coeficiente angular = a

a = 3

Coeficiente angular = 3

Coeficiente linear = b

b = -2

Coeficiente linear = -2

b) é crescente pois a > 0

c) 

intercepto de x =

intercepto de y =

d)

Agora que você aprendeu tudo que tal começar a calcular suas funções afim?

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Aplicações práticas da função quadrática

Anteriormente eu fiz um post com um resumo sobre função quadrática mas algo que eu deixei de falar foi sobre as aplicações práticas da função quadrática e é isso que vamos ver agora e você se surpreenderá ao descobrir que a função quadrática está bem mais presente no nosso dia-a-dia do que você imagina.

Aplicações práticas

Muitas pessoas se perguntam “para que aprender isso? nunca vou usar na minha vida”, porém este pensamento não está certo pois na realidade a função quadrática está bastante presente em nossas vidas.

Exemplo 1: 

Imagine que você tem uma empresa de ônibus que transporta 2400 passageiros por mês, da cidade A para a cidade B. A
passagem custa 20 reais e sua empresa deseja aumentar o preço. No entanto, o
departamento de pesquisa dela estima que, a cada 1 real de aumento no preço da
passagem, 20 passageiros deixarão de viajar pela empresa. Neste caso, qual deve ser o
preço da passagem, em reais, para maximizar o faturamento da empresa? e qual será esse faturamento?

 

Resolução:

Vamos chamar o acréscimo de x, e a cada 1 Real de acréscimo teremos -20 passageiros, portanto o número de passageiros em função do acréscimo será de 2400-20x e o ganho por cada passagem será de 20+x Reais então vamos multiplicar esses dois termos e assim ficaremos com:

Y =  -20x²+2000x+48000

Como vemos o coeficiente de “a” é negativo o que significa que a função possui um ponto máximo que é dado pelo X do vértice, (-b/2a) ou seja:

Esta será o aumento da passagem que proporcionará o maior faturamento mensal da empresa, mas de quanto será esse faturamento?

Podemos calcular isso também pelo Y do vértice (-Δ/4a), nesse caso:

Portanto esse será o faturamento máximo dessa empresa.

 

Exemplo 2: 

 

 Imagine que você é dono de um terreno de 16m de comprimento e 26m de largura e peça emprestado de seus vizinhos uma parte do terreno para plantar em uma área total de 816m², quantos metros de largura e de comprimento você teria que afastar a cerca para conseguir isso?
 
Resolução:
 
Área total do seu terreno: 416m²
Área que você pegará emprestado do vizinho do lado: 16x (16 de comprimento • x de largura)
Área que você pegará emprestado do vizinho dos fundos: 26x (26 de largura • x de comprimento)
pedacinho que falta: x².
 
Transformando isso numa equação de 2º grau ficamos com:
 
x²+26x+16x+416=816
 
Como as equações de 2º grau devem ser iguais a zero temos que passar aquele 816 para o outro lado invertendo o sinal, assim ficando com:
 
x²+26x+16x+416-816=0
x²+42x-400=0
 
Agora podemos usar a fórmula de Báskhara.
 
(Não existe medida negativa).
 
  (essa é a resposta).
 
portanto teremos que afastar a cerca 8 metros para obtermos a área desejada.
 
Prova real:
 
26+8=34
16+8=24
24•34=816m²

Exemplo 3:

Resolução:

1 – O lucro L  é dado pela receita R menos o custo C, já a receita é dada pela quantidade produzida x multiplicada pelo preço p que por sua vez é dado por 11-0,02x logo:

Como L = R-C podemos substituí – los e assim encontraremos a função L(x) para o lucro então ficamos com:

Portanto este será o lucro obtido pela venda de x copos de suco de laranja em um dia.

2 – Para encontrar qual deve ser o preço primeiro temos que descobrir para qual quantidade de copos produzidos o lucro será máximo e quem determina isso é o x do vértice que é dado por:

Agora que encontramos esse valor podemos substituir na formula do preço ficando com:

Ou seja para que o lucro seja máximo o preço do copo de suco deve ser 6 Reais

E estes foram apenas alguns dos múltiplos casos que a função quadrática está presente na nossa vida.

Temos aqui nesse site um post que calcula funções quadráticas, você apenas insere os coeficientes de a, b e c e o programa informa pra você o Delta, as raízes, o X e o Y do vértice e ainda desenha o gráfico dessa função, clique no botão abaixo para conhecê-lo.

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Resumo sobre Função quadrática

A função quadrática, também chamada de função do segundo grau, é expressa como f(x) = ax² + bx + c ou y = ax² + bx + c, sendo que os coeficientes “a, b e c” números reais e “a” diferente de 0 (zero).
 
De modo geral, as funções possuem dois elementos básicos: 1) domínio, que corresponde ao conjunto dos valores possíveis das abscissas (eixo x) e 2) imagem, que é o conjunto de valores das ordenas (eixo y), estabelecida pela aplicação de f(x). 
 
Observe abaixo outros exemplos de funções quadráticas:
 
y = x² – 4x + 3, onde a = 1, b = -4 e c = 3
y = – x² + 2x + 4, onde a = – 1, b = 2 e c = 4 
y = 3x² – 4x, onde a = 3, b = -4 e c = 0

Função quadrática completa e incompleta

Podemos ver que no exemplo y = 3x² – 4x, o coeficiente c é igual a zero, o que indica que esta é uma função incompleta, o mesmo vale quando o coeficiente b é igual a zero. Confira outros exemplos (o coeficiente “a” NUNCA será igual a zero):
 
f(x) = 2x² + 5, onde a = 2, b = 0 e c = 5
f(x) = 3x² , onde a = 3, b = 0 e c = 0
 
Existe também a função completa, a qual todos os coeficientes (a, b e c) são diferentes de zero. Confira alguns exemplos
 
f(x) = 5x² + 2y+ 1, onde a = 5, b = 2 e c = 1
f(x) = x² + 4y+ 11, onde a = 1, b = 4 e c = 11
 

Gráfico da Função quadrática

O gráfico da função quadrática é uma parábola, cuja concavidade é determinada de acordo com o valor de a. Se a > 0, a concavidade da parábola estará voltada para cima e se a < 0, a concavidade da parábola estará voltada para baixo.

Mais sobre o gráfico

  • Se b > 0 a parábola intersecta o eixo Y subindo.
  • Se b = 0 a parábola intersecta o eixo Y “reta”.
  • Se b < 0 a parábola intersecta o eixo Y descendo.
  • c é o ponto em que a parábola vai intersectar o eixo Y.
  • Se Δ > 0 a parábola corta o eixo X duas vezes.
  • Se Δ = 0 a parábola tangencia o eixo X.
  • Se Δ < 0 a parábola não encostará no eixo X.

Raízes e Vértice

Dois conceitos estão relacionados à concavidade da parábola: as raízes (pontos onde o gráfico intercepta o eixo x) e o vértice (ponto de máximo ou mínimo a função). As raízes podem ser calculadas pela fórmula de Bháskara ou outros métodos. Lembrando que, as funções quadráticas possuem apenas duas raízes.

Em relação ao vértice, na função de primeiro grau é possível traçar o gráfico a partir de dois pontos. Contudo, isso não acontece na função de segundo grau, pois é necessário conhecer mais que dois pontos.

A partir do valor do = b² – 4ac, sabemos que:

• Se > 0, a função possui duas raízes reais distintas e a parábola intercepta o eixo x em dois pontos diferentes;
• Se = 0, a função possui duas raízes reais iguais e a parábola é tangente ao eixo x;
• Se < 0, a função não possui raízes reais e a parábola não intercepta o eixo x;

Exemplo:

Encontre as raízes  (ou zeros) da função f(x) = x2 – 5x + 6.

Solução:

Sendo
a = 1
b = – 5
c = 6

Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:

x igual a numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de b ao quadrado menos 4 a c fim da raiz sobre denominador 2 a fim da fração igual a numerador 5 mais ou menos raiz quadrada de 25 menos 24 fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração x com 1 subscrito igual a numerador 5 mais 1 sobre denominador 2 fim da fração igual a 6 sobre 2 igual a 3 x com 2 subscrito igual a numerador 5 menos 1 sobre denominador 2 fim da fração igual a 4 sobre 2 igual a 2

Portanto, as raízes são 2 e 3.

Conheça também:

Aplicações práticas da função quadrática
Cálculo de função quadrática